Tentukan \( \int (x^{20} + 20x)^{423} \ (5x^{19}+5) \ dx \).
Pembahasan:
Kita bisa selesaikan integral ini menggunakan metode atau teknik integral substitusi. Misalkan \( u = x^{20} + 20x \), sehingga:
\begin{aligned} u = x^{20} + 20x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 20x^{19} + 20 \\[8pt] \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 4\left(5x^{19} + 5\right) \\[8pt] \Leftrightarrow dx = \frac{du}{4 \left(5x^{19} + 5\right)} \end{aligned}
Dengan substitusi hasil yang kita peroleh di atas ke soal integral, kita dapatkan hasil berikut:
\begin{aligned} \int (x^{20} + 20x)^{423} \ (5x^{19}+5) \ dx &= \int u^{423} \ (5x^{19}+5) \cdot \frac{du}{4 \left(5x^{19} + 5\right)} \\[8pt] &= \int u^{423} \cdot \frac{1}{4} \ du = \frac{1}{4} \int u^{423} \ du \\[8pt] &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{423+1}u^{423+1} + C \\[8pt] &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{424} (x^{20} + 20x)^{424} + C \\[8pt] &= \frac{1}{1.696} (x^{20} + 20x)^{424} + C \end{aligned}